Базы данных конспект лекций - Коллектив авторов (2007)

Соотношение мощностей, как мы помним, характеризует, как меняется количество кортежей в отношениях после применения той или иной операции. Итак, что мы видим? Мощность объединения двух отношений r1 и r2 меньше суммы мощностей исходных отношений-операндов. Почему это происходит? Все дело в том, что при объединении совпадающие кортежи исчезают, накладываясь друг на друга. Так, обратившись к примеру, который мы рассматривали по прохождении этой операции, можно заметить, что в первом отношении было два кортежа, во втором – три, а в результирующем – четыре, т. е. меньше, чем пять (сумма мощностей отношений-операндов). По совпадающему кортежу {b, 2} эти отношения «склеились».

Мощность результата пересечения двух отношений меньше или равна минимальной мощности исходных отношений-операндов. Обратимся к определению этой операции: в результирующее отношение попадают только те кортежи, которые присутствуют в обоих отношениях исходных. А значит, мощность нового отношения никак не может превышать мощности того отношения-операнда, число кортежей которого наименьшее из двух. А равной этой минимальной мощности мощность результата быть может, так как всегда допускается случай, когда все кортежи отношения с меньшей мощностью совпадают с какими-то кортежами второго отношения-операнда.

В случае операции разности все достаточно тривиально. Действительно, если из первого отношения-операнда «вычесть» все кортежи, присутствующие также во втором отношении, то их количество (а следовательно, мощность) уменьшится. В том случае, если ни один кортеж первого отношения не совпадет ни с одним кортежем отношения второго, т. е. «вычитать» будет нечего, мощность его не уменьшится.

Интересно, что в случае применения операции декартового произведения мощность результирующего отношения в точности равна произведению мощностей двух отношений-операндов. Понятно, что это происходит потому, что в результат записываются все возможные пары кортежей исходных отношений, а ничего не исключается.

И, наконец, операцией естественного соединения получается отношение, мощность которого больше или равна произведения мощностей двух исходных отношений. Опять-таки это происходит потому, что отношения-операнды «склеиваются» по совпадающим кортежам, а несовпадающие – из результата исключаются вовсе.

2. Свойство идемпотентности:

1) для операции объединения: r ∪ r = r;

2) для операции пересечения: r ∩ r = r;

3) для операции разности: r \ r ≠ r;

4) для операции декартового произведения (в общем случае, свойство не применимо);

5) для операции естественного соединения: r × r = r.

Интересно, что свойство идемпотентности верно не для всех операций из приведенных, а для операции декартового произведения оно и вовсе не применимо. Действительно, если объединить, пересечь или естественно соединить какое-либо отношение само с собой, оно не изменится. А вот если отнять от отношения точно равное ему отношение, в результате получится пустое отношение.

3. Свойство коммутативности:

1) для операции объединения:

r1 ∪ r2 = r2 ∪ r1;

2) для операции пересечения:

r ∩ r = r ∩ r;

3) для операции разности:

r1 \ r2 ≠ r2 \ r1;

4) для операции декартового произведения:

r1 × r2 = r2 × r1;

5) для операции естественного соединения:

r1 × r2 = r2 × r1.